無限的力量 Steven Strogatz

1. 其實並沒有人規定宇宙必須遵照某種邏輯來運行。事實上，愛因斯坦正是驚訝於此，於是寫道：『這個世界的可理解性是一個永恆之謎』。尤金・維格納也表達相同的想法：『數學能妥善描述物理現象的這一奇蹟，是我們既無法理解也不配擁有的恩賜』。

2.微積分的運作可分為兩個階段：切割與重組。切割的程序需要無限細微的減法，好求得兩個項目之間的差異。因此，這部分程序叫做微分。而重組的程序需要無限的加總，這部分程序便被稱為積分。

3.我們採取「實無限」或「潛無限」哪一種看法其實並不重要，它們只是觀點不同，但計算後的結果相同。然而，在某些情況中，「實無限」的解釋方式會造成邏輯災難。

4.普朗克得到結論：√hG/c3這個特殊的長度實際上就是宇宙最小的尺度。為了紀念他的貢獻，這個常量被命名為『普朗克長度』。相應的普朗克時間則是光走過這一段距離所需的時間，大約等於10^-43秒。要是小於這個尺度，空間與時間就不再具有意義了。換句話說，它們就是宇宙中最短的長度與時間。

5.行星這個字原本的意思『漫遊者』。早在遠古時代，人們便已經察覺到了它們會到處亂跑的特性；比起那些相對位置永不改變的星星，如獵戶腰帶、北斗七星，行星會在空中遊蕩，花數週或數個月的時間從一個星群移動到另一個。

6.「畢氏定理」實際上也不是畢達哥拉斯首先發現；早在公元前1800年前的美索不達米亞泥板上就已經存在，證明巴比倫人知道這個定理的時間點比畢達哥拉斯早了至少一千年。

7.若我們以分子的尺度去測量東西，在微關的角度進行觀察，運動都是跳動而不平滑的。然而，若我們想看的是整體趨勢，那麼將這些微小的擾動去除可能比較好。微積分在萬物運動與變化的議題上為我們帶來巨大的洞見，這點足以證明平滑曲線的重要性，雖然它可能只是對於自然現象的一種近似而已。

8.從現代的角度來看，尋找面積所代表的意義為：在給定變化率的狀況下，預測任何變化量之間的關係，並瞭解它如何隨著時間改變。

9.萊布尼茲發現微積分的時間晚了牛頓十年，但因為種種原因，他被認為是該門學問的共同創始人。他是第一個將其發表的人，而且他的說明既優美又容易消化，就連其中所用的符號都經過精心設計，今天我們仍在使用這些符號。此外，萊布尼茲有招收門徒，這些人積極將他的想法散佈到世界各地。

10.何大一與佩雷爾森用簡單的方程式P = cV0來估算一個當時還沒有人知道，卻相當重要的數字：免疫系統每天清除的病毒顆粒數。每一天病人體內都有一百億個病毒顆粒被產生與移除。這個數字令人意外的大，代表在看似平靜且可維持十數年的無症狀期中，病人的身體裡其實正發生一場劇烈的抗戰。每一天免疫系統都會消滅百億個病毒顆粒，但感染細胞又會釋放出百億個新病毒。

11.純音並不具有音樂家們所說的音色（timbre）。

12.以波動方程式的發現為例，這條源自音樂、與弦振動有關的方程式，最後被馬克士威用來預測電磁波的存在；而在那之後，人們便相繼發明了真空管、電晶體、電腦、雷達以及微波爐。

13.當你遇到一個困難的連續問題時，先將它切成無限多個小問題，然後再去處理它們；最後，藉由把所有的答案重新組合起來，便能對原始題目有一個完整的理解。

14.在超過一個「可預測界限（predictability horizon）」的時間點之前，混沌系統的行為可以被很好地掌握，因為系統的決定論性質會讓它的行為可以預測。舉例而言，有人計算過，整個太陽系的可預測界限大約是四百萬年左右。

心得

    本書介紹「無限」的概念與微積分。「無限」是我們在處理實際問題時能採取的一種分析手段，一段連續的曲線、一個圓的面積等等，直觀的去求解會相當困難，但是將它切成無限小的各小片段，求得其中的解，然後再將所有解全部累積起來，就能達到精準的答案。本書在有高中數學程度的讀者來看相當好閱讀，我就是如此。在離開高中後就再也沒有接觸數學了，本書讓我有溫故知新之感，而且或許離開太久，感覺滿滿的新知，也有暢通感：原來這個公式背後是這麼來的！

    萊布尼茲醉心於數學，發明微積分時僅是滿足於求解，還不考慮其應用。求一曲線某點的斜率、或知道各斜率，求曲線，或是求曲線下的面積，乍聽相當無聊，只是數學家的遊戲而已；但實際上應用相當相當廣泛，從銀行帳戶中的金流、如何治療疾病、甚至製造飛機帶人類上天空、發射火箭上月球，天體的運行等，都是微積分的應用。當然純微積分無法做到這些事，但是這些事的邏輯及規律都被微積分所規範並預測，可說是最重要的背後科學。

    一個重要的例子是微積分改變愛滋病的治療。愛滋病患感染後會有一段長達十數年的低病毒量時期，人也沒有症狀，以往被視為潛伏期。以前的治療是等到潛伏期結束病症開始再投以藥物，畢竟病毒突變相當快，藥要留到刀口才用阿。但何大一與佩雷爾森的研究發現，實際上這段時期是病毒的廓清率與產生率相等，所以才有潛伏期的錯覺；而且以微積分計算產生率實際高達百億病毒數/天！所以實際上，所謂的潛伏期，根本是身體正在劇烈戰爭的時期。這項研究徹底改變了對愛滋病的療法，拯救了無數病患。一樣的，微積分雖然不是醫學，但其可說是這項療法的最大功臣。

    本書相當的精彩，中間以生動淺顯的文字描述，完整說明了微分、積分的原理及公式怎麼來的，並且介紹過去發生的故事，以及現在如何影響我們的生活。這也告訴我們就算看似雜亂無章的世界，只要用良好的耐心及工具去分析它時，優雅的規律就會浮現，展現在我們的眼前，幫助我們解決更多的問題。